充分体现课改新理念

下面是小编为大家整理的充分体现课改新理念,供大家参考。

　充分体现课改新理念

　 着重考生能力考查 袁韬

　 （四川巴中市五中

　636000）

　 关键词：

　 课改理念

　能力立意 2006 年高考数学试题， 继续坚持“有利于高校选拔人才， 有利于中学素质教育” 的原则， 体现“稳中求进， 稳中求新” 的命题思想； 重视高中数学“三基”考查， 同时突出主干知识和基本数学思想方法的考查； 传统题目和“新” 题交相辉映。

　题目 的设计对空间想象， 分析推理， 归纳猜想等思维能力的要求较往年有所提高， 同时对数学语言的阅读、 理解、 转化、 表达能力要求仍然较高， 继续以数学为载体， 考查学生在数学概念迁移到不同情景下挖掘问题的能力， 具体体现在以下几个方面。

　一、 紧扣高考大纲精神， 充分体现课改新理念 1、 函数是中学数学核心内容， 也是历届高考命题重点、 热点。

　 题 1 （全国卷Ⅰ .17）

　△ABC 的三个内角为 A、 B、 C， 求当 A 为何值时，cosA+2cosB+C2 取得最大值， 并求出这个最大值。

　解：

　由 A+B+C=π 得B+C2 =π2 — A2

　∴cosA+2cosB+C2 = cosA+2sinA2 =－2（sinA2 －12 ）2+ 32 ≤32

　当 sinA2 =12 即 A=π3 时， cosA+2cosB+C2 取得最大值32

　点评：

　本题属易题， 考查学生对三角函数的化简整理及三角函数的性质的掌握，降低了对三角变换的考查， 而加强了 对三角函数的图像与性质的考查。

　突出能力立意，加强知识性和应用性考查。

　以三角函数为工具在知识交汇点处命题， 要求学生树立数形结合的意识。

　题 2 （全国卷Ⅰ .12）

　已知函数 f（x）

　=1+x1-x －ax （1）

　设 a＞0， 讨论 y = f（x）

　的单调性。

　（2）

　若对任意 x∈(0,1)恒有 f（x）

　＞1， 求 a 的取值范围。

　解 ：

　（1）

　对 f（x）

　求导得 f′ (x)=2-a(1-x2)2

　(1-x)－ax

　(x≠1)

　当 0＜a＜2 时：

　h(x) =2－a(1－x 恒成立， 则 f′ (x) ＞0。

　 在（－ ∞,1）

　和（1， +∞）

　上 f（x）

　为增函数。

　2)

　=ax2+(2－a)＞0 当 a≥2 时考查 ax2+2－a＜0 得 x∈（－aa2−，aa2−）

　时 f′ (x)＜0

　∴在22(,),(,1),(1,)aaaa−−−∞+∞ 上 f（x）

　为增函数 在（—aa2−，aa2−）

　上 f（x）

　为减函数 （2）

　构造函数 g(x)= f（x）

　—1 对一切 x∈ （0， 1）

　都有 g(x)＞0 ∵g(0)=0

　即有 g(x) ＞g(0)

　∴ 只须 g (x)在[0， 1)上单调递增。

　而 g′ (x)= f′ (x)=ax2+2-a(1-x)2

　0axe−≥ 只需220axa+ −≥恒成立， 从而在[0,1)x∈时 2(1)2ax−≤恒成立 ，

　即221ax≤−。

　而21-x2 在[0， 1）

　的最小值是 2 ∴对任意 x∈ (0， 1) 恒有 f(x)

　＞1 时， 点评：

　导数既是新教材新增内容， 是今后学习的必需工具之一， 又是函数、2a ≤。

　解析几何的交汇点， 有着重要的工具作用。

　笔者发现-ax（1-x）2 ＞0 恒成立， 因而转化为考查二次函数 h(x)=ax2+(2—a)当 0＜a＜2 时， h(x) ＞0 恒成立。

　在第（2）问中， 构造新函数 g(x)=f(x) —1， 而 g′ (x)= f′ (x)且易发现 g(x)在（0， 1）

　上单增， 再分离变量 a 就易得 a≤2， 从而使较复杂的分类讨论变得有趣了 。

　2、 几何与代数内容平分秋色。（见下表）

　平面几何 2（1）

　2（2）

　选择填空题 立体几何 解析几何 2（3）

　分值 29（28）

　解答题 0（1）

　1（1）

　1（1）

　24（36）

　（注：

　括号内为文科试题）

　合计：

　理科几何 53 分， 文科几何 64 分。

　约 40%左右 3、 概率与统计是新课程特别重视的内容， 几何增加学习向量， 代数增加学习微积分是新课程重要举措， 也是高考命题重点之一。

　 题 3（全国卷Ⅱ .7）

　已知平面α ⊥ β ， A∈ α ， B∈ β ，

　AB 与两平面α 、 β 所成的角分别为π4 和π6 。

　αβABA′ B′

　过 A、 B 作别作两平面交线的垂线， 垂足为 A′ ， B′ ， 则 AB：

　A′ B′ =（

　）

　A、 2 ：

　1

　B、 3 ：

　1

　C、 3 ：

　2

　 D、 4 ：

　3  ，ABm=，

　 ABAA=+解：

　设""1A B = """"A BB B+   ∴2222""""ABAAA BB B=++   即 m2=（m2 ）2+1+（22 m）2

　 ∴

　m =2 点评：

　因为向量""""AA ,A B ,B B   两两垂直， 所以由""""AB=AA +AB +B B    两边平方及22AB =|AB|  得方程， 将几何问题转化为代数运算。

　二、 强调基础、 强调应用、 强调创新。

　1、 重视“双基” 的考查 2、 考应用是高考命题热点（线性规划， 药品试验， 成品检验等）

　3、 创新在本次命题中表现不俗， 立足中学教材， 高于中学教材。

　题 4（全国卷Ⅱ .12）

　函数 f(x) =∑=191n| x－n| 的最小值为（

　 ）。

　A 190

　B 171

　 C 90

　 D 45 解：

　先观察（1）

　 A

　B

　 （2）

　A

　 B

　C

　 1

　 2

　 1

　2

　3 发现（1）

　中任意位置到 A、 B 两端的距离和均等于 1。（2）

　中只有在中间位置点B 到 A、 B、 C 三点的距离和才有最小值 2， 因而猜想从 1 到 19 这 19 个位置， 只有在中间 10 到两边各点的距离和才有最小值， 最后验证∑=191n| x－ n| ≥∑=191n|10－n| =2（9+8+…+2+1）

　=90

　 故选 C 点评：

　本题有新的创意， 新突破， 考查学生归纳猜想能力。

　三、 缩小考试范围， 难易适中， 增加灵活性， 着重能力的考查。

　1、 缩小范围， 难易适中， 如复数只考计算能力。

　题 5（全国卷Ⅰ .5）

　如果（m2+i）（1+ m i）

　是实数， 则实数 m=______ 解：

　A=（m2+ i）（1+ mi）

　=（m2－m）

　+(m3+1) i 要使 A 为实数只有 m3+1=0 即 m= －1。

　点评：

　本题属易题， 考查复数中最基础的计算及 i 2=－1 的使用。

　2、 增加灵活性， 着重能力的考察。

　（1）

　构造函数， 构造方程的能力。

　题 6（全国卷Ⅰ .10）

　设{an} 是公差为正数的等差数列， 若 a1+a2+a3=15 a1·a2·a3=80 则 a11+a12+a13 =（

　 ）

　A、 120

　B、 105

　 C、 90

　D、 75

　解：

　易知 a2=5， 则 a1+a3=10

　a1a3=16 构造 χ2－10 χ +16=0 得 a1=2, a3=8 ∴a11+a12+a13=3a12=3（2＋11×3）

　=105

　 故选 B 点评：

　由{an} 是公差为正数的等差数列得 ai＜ai+1且 ai－1+ai+1=2ai再构造一元二次方程可求出 a1=2

　 d=a3-a12 =3， 本题较容易， 但也着重突出考查考生的思维能力。

　（2）

　归纳猜想能力。

　题 7（全国卷Ⅰ .9）

　设平面向量 a1， a2， a3 的和 a1+a2+a3=0， 如果平面向量 b1， b2， b3满足|bi|=2|ai|， 且 ai顺时针旋转 30° 后与 b i同向， 其中 i=1、 2、 3 则 A、 －b1+b2+b3= 0

　 B、 b1－b2+ b3=0

　C、 b1+b2－b3 = 0

　 D、 b1+b2+b3=0 点评：

　大胆猜想， 合理验证。

　本题仅是伸长后同时顺时针旋转 30° 。

　肯定答 案与 a1+a2+a3 = 0 有关， 即验证 b1+b2+b3 =2（a1+a2+a3）()6ieπ− = 0

　故选D

　(3)数形结合能力 题 8（全国卷 I.8）

　抛物 线 y=－x2上的点到直线 4x+3y－8=0 的距离的最小值是 A、43

　 B、75

　C、85

　D、 3

　γ

　解：

　画出草图， 易知利用导数的几何意义即可求解。

　 χ

　先求导 y′ =－2x 易得 x0= 23 即切点 P（23 ， － 49 ）

　利用点到直线的距离公式得 d=| 4·23 +3（-49 ）

　-8|5 =43

　 故选 A 点评：

　数形结合在解题过程中应用十分广泛， 运用数形结合思想解题， 不仅直观易于寻找解题途径， 而且能避免繁杂的计算和推理， 可收到事半功倍的效果。

　（4）

　运用参数和参数方程简化运算 题 9（全国卷Ⅱ . 15）

　过点（1，2 ）

　的直线 L 将圆（x－2）2+y2=4 分成两段弧， 当劣弧所对的圆心角最小时直线 L 的斜率 k=__________ 解：

　设过（1、2 ）

　的直线参数方程为：

　x=1+tcosα

　 γ

　o p E

　 （t 为参数）

　代入圆的方程中得：

　y= 2 +tsinα

　 χ

　t2－2t（cosα －2

　sinα ）

　－1=0

　弦 DE=|t1－t2|=4sin2 −cos4（2+）αα ≥4 =2

　当且仅当 cosα - 2 sinα =0

　即 k=22 时 DE 有最小值。

　点评：

　充分利用参数的几何意义， AD= t1， AE= t2， 要使劣弧所对的圆心角最小， 即弦 DE 有最小值， 因而 k=tgα =22 。

　题 10（全国卷Ⅰ . 20）

　在平面直角坐标系 x0y 中有一个以 F1（0， － 3 ）

　和F2（0，3 ）

　为焦点， 离心率为23的椭圆， 设椭圆在第一象限的部分为曲线 C，动点 P 在 C 上， C 在点 P 处的切线与 X、 Y 轴的交点分别为 A、 B 且向量      OMOA OB+=求（1）

　点 M 的轨迹方程

　 （2）

　OM 的最小值

　y 解 ：

　（1）

　由 e=23=ac

　 c= 3 得 a=2， 易知椭圆方程 x2+42y=1

　 M

　2 设 M（x,y）

　设动切线 y=kx+y0代入 C 中令△=0

　 P

　x 解得：y0=42+k

　∴切线方程 y=kx+42+k 横截距：

　x0 =kk−+ 42

　 纵截距：

　y0 =42+k（x0＞1, y0＞2）

　消去参数 k 得 x -2+4y-2=1(x＞1,y＞2) (2) OM =2020yx +=345454422222=+≥++=+++kkkkk 当且仅当2k =2， 即 K=－2 等号成立。

　∴ OM 的最小值为 3。

　点评：

　圆锥曲线是高考中的重点内容， 主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，动点轨迹方程， 范围与最值等方面的问题。

　考查学生观察、 联想类比、 抽象、 转化、 构造等理性思维能力， 考查学生创新意识和创新品质。

　A D ·

　C P ·

　O 1 A O B

　最后值得我们深思的是今年高考的立体几何题很有思考的空间。

　题 11、（全国卷Ι . 19）

　如图， L1、 L2是互相垂直的异面直线， MN 是它们的公垂线段， 点 A、 B 在 L1上， C 在 L2上， AM=MB=MN 。

　ι1

　 (1)证明 AC⊥NB

　χ A

　D

　C

　 (2)若∠ACB=600求 NB 与平面 ABC 所成角的余弦值

　解（1）

　∵ AM=MB=MN

　∴∠ANB=900

　N

　 则 NA、 NB、 NC 两两互相垂直成右手系建立如图

　 y

　所示坐标系 N－XYZ。

　B

　 ι2 (0, 1,0)BN =M

　取 A（1,0,0）

　B（0,1,0）

　C（0,0,m）

　,( 1,0,= −)ACm− ∵0AC BN⋅= ∴ ACBN⊥

　即

　AC⊥NB （2）

　由 MN⊥AB 且 AM=MB =MN 得 △NAB 是等腰直角三角形。

　又 Rt△ANC≌Rt△BNC

　∴ AC=BC

　即△ABC 是等边三角形   22222NAACNCABNB=−=− ∵ ACAB=  ∴

　1NCNB == ∴三棱锥 N—ABC 是正三棱锥。

　再取 AC 的中点 D（211( , 1, )22  1， 0，21）

　BD =− 是 BN在平面 ABC 上的射影 ∴COS∠NBD = 16332BN BD⋅  BN BD== 点评：

　本题构思新颖、 独特， 在知识交汇点处命题， 一改以往的考柱、 锥图形为异面直线的公垂线段， 考查学生知识迁移能力， 思维能力和空间想象能力，特别是使用向量代数法解决立体几何问题的能力， 以顺应几何的改革方向。

　总之， 2006 年高考数学试卷全面走进新课改， 注意结合向量、 导数等新增加的内容， 从函数、 导数、 方程、 三角函数与三角变换、 平面问题与空间图形， 转换与联系等重点内容出发， 构建知识网络； 从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题。

　在知识交汇点上设计试题， 注重双基和能力并举， 强化对考生个性品质的考查。

　在平淡中考基础， 在交汇点处考综合， 在创新中考能力， 多层次， 多视点地考查学生的数学素养和潜能。

　让我们一起关注高考的新动向， 共同体会高考试题的魅力！

　参考文献 1、 中华人民共和国教育部制定，《普通高中数学课程标准》

　（试验）· [m]· 北京 ：z

　人民教育出版社 2003 2、 刘中山， 2006 年高考数学“新” 题点评。《中学教研》（数学）· 2006· 9 3、 王卫华、 刘玉芬， 导数的几点妙用《中学教研》（数学）· 2006· 9

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