概率论与数理统计答案,中国纺织大学出版社(东华大学出版社)

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　第三章

　连续型随机变量及其分布 习题 3. 1（p. 86）

　1、

　设随机变量ξ 的分布律如下表所示，

　ix=ξ 0 1 2 7/2 {ξ}ixP= 1/3 1/8 1/6 3/8 试求ξ 的分布函数， 并利用 分布函数求 {} 20≤≤ ξP。

　解：( )x≥<≤<≤<≤<x=27127385312411103100xxxxF

　{}{ξ}{}( )2( )0( )0( )241102411020020=−=−+−=≤<+==≤≤−FFFFPPPξξ 2、

　函数xsin在下列范围内 取值

　⑴ [] 2/π , 0； ⑵ [] π , 0； ⑶ [] 2/π3 , 0；

　 它是否可作为一个连续型随机变量的密度函数？

　解：

　作为连续型随机变量的密度函数，( ) xf在定义范围内满足 ① ( )f0≥x；

　 ② ( )x1d =x∫∞−+∞f

　⑴ 1dsin∫2π0=xx且当[π , 0] 2/∈x时，0sin≥x， 故可作为连续型随机变量的密度函数；

　⑵ 12cosdsin∫π0π0≠=−=xxx， 故不可以作为连续型随机变量的密度函数；

　⑶1cosdsin∫23π023π0=−=xxx， 但当[3 , π] 2/π∈x时，0sin<x， 故不可以作为连续型随机变量的密度函数。

　3、

　要使下列函数成为密度函数， 问式中的参数cba,,应满足什么条件（21,ll是已知数）

　？

　 ⑴ ( )()>=−其它0ecxaxfcxb；

　 解：( )x()()()bababaxaxfcbccxbc∫cxbc∫−=⋅===−∞+∞+−+∞−+∞ee1ded1

　cbab, 1, 0=−<∴任意。

　 ⑵ ( )≤≤其它−0=21lxlbxaxg

　解：( )x∫1l∫∞−−==+∞2dd1lxbxaxg

　①1lb <，()()21212d12llllbxaxbxa−⋅=−=∫，

　 ()()[]22122=−−−∴blbla

　②21lbl<≤，()()()()−2+−−⋅=−+−=∫b∫1l2122dd122lbbllbbxxbaxbxxxba

　 ()()[]22122=−+−∴blbla

　③2lb ≥，()()()212112d12llllxbaxxba−−⋅=−=∫，

　 ()()[]22221=−−−∴lblba 4、

　设连续型随机变量ξ 的分布函数为

　 ( )1100, 1,, 0Ax3≥<≤x<x=xxF

　⑴求常数 A ；

　⑵求ξ 的密度函数；

　⑶求 {} 5 . 0>ξP，{3 . 0} 1≤≤ ξP，{} 43>ξP。

　解：

　⑴ ( ) xF连续，( )( ) 111===+−FFA，1=∴ A ⑵ ( )( )x<≤其它=′=01032xxFxf ⑶ {}875. 0d35 . 015 . 0310.5∫2==>xxxP＝ξ

　{}973. 0d313 . 013 . 0∫2==≤≤xxPξ

　 {}{ξ}{ξ}6437d343434314∫32==−<+>=>xxPPPξ 5、

　设随机变量ξ 的密度函数为 ( )x>≤=−0,e0, 042xKxxfx

　⑴求未知常数 K ；

　⑵求 {} 11≤≤−ξP。

　解：

　⑴ ( )xKKxKxKxxfxxx2e24de2ded1040∫240∫4222=⋅−=−−===+∞−∞+−∞+−∞∫+∞−

　21=∴ K

　 ⑵ {}41104410∫e1ede21122−−−−=−==≤≤−xxxxPξ 6、 设随机变量ξ 的密度函数为

　⑴ ( )≤≤−=其它, 02π2π,cos21xxxf

　⑵ ( )≤≤其它<≤−−, 0+=1001,1,1xxxxxf

　求ξ 的分布函数 ( ) xF， 并画出( ) xf和 ( ) xF的图形。

　解：( )x( )t∫∞−=xtfFd

　⑴ 2π−<x，( )x0d0==∫∞−xtF

　2π2π<≤−x，( )x() 1+sin21sin21dcos212π2π===−−∫xtttFxx

　2π≥x，( )x1sin21dcos212π2π2π2π===−−∫tttF

　 ( )x()≥<≤−−<+=∴2π2π2π2π11sin210xxxxF ⑵ 1−<x，( )x0d0==∫∞−xtF

　01<≤−x，( )x( )t()212d1d0d211++=++==∫−∫∞−∫∞−−xxttttfFxx

　10<≤ x，( )x( )t()()212d1d1d0d20∫011++−=−+++==∫−∫∞−∫∞−−xxttttttfFxx

　1≥x，( )x( )t()()1d0d1d1d0d1∫10∫011=+−+++==∫−∫∞−∫∞−−xxtttttttfF

　( )x≥<≤++−<≤−++−<=∴111021201212x1022xxxxxxxF 7、

　设随机变量ξ 的密度函数为 ( )x≤≤其它<≤−, 0=2110,2,xxxxf 求<<4321ξP，≤≤2321ξP，≥21ξP。

　解：

　⑴ 3252d4321432124∫321===<<xxxPξ ⑵ ()43222d2d2321231212122∫3112∫1=−+=+=≤≤xxxx-xxxPξ ⑶()87222d2d21212121221∫12∫1=−+=+=≥xxxx-xxxP ξ

　8、

　设k 在[] 5 , 0上服从均匀分布， 求方程02442=+++kkxx有实根的概率。

　解：( )x≤≤=其它, 050,51xf 倘若方程有实根， 则()()()0121621616422≥+−=+−=−=∆kkkkacb ()舍去或21−≤≥kk

　 {}53d51252∫==≥∴xkP 9、

　在区间 [] a , 0上任意选取一点， 用 ξ 表示该点的坐标， 试求坐标ξ 的分布函数和密度函数。

　解：

　当0<x时， {} x≤ξ是不可能事件，

　( ){ξ}0=≤=xPxF

　 当ax ≤≤0时， 依题意 {}kxxP=≤≤ ξ0， k 是某一常数。

　而{} ax ≤≤0是必然事件，故 {}10==≤≤kaaxP， 所以ak1=， 从而 {}axxP=≤≤ ξ0， 于是 ( )x{ξ}{ξ}{}axaxxPPxPF=+=≤≤+≤=≤=000ξ 当ax >时， {} x≤ξ是必然事件，

　( ){ξ}1=≤=xPxF， 故有

　 ( )>≤a≤x<x=axa1xxF000

　 ( )≤≤=其它, 00,1axaxf 10、 在 ABC∆内 任取一点 P ， 用 ξ 表示点 P 到底边 AB 的距离， AB 上的高的长度为 h ，求ξ 的分布函数和密度函数。

　解：0<x，( )x0=F；hx >，( )x1=F

　 hx ≤≤0， 概率为梯形面积与整个三角形面积之比， 即为

　 ( )()2222121hxhxahxhxhaaxF−=−+=， 故有

　 ( )≥<a<x≤x−2=axhxhxxF001202

　 ( )<<−h=其它, 00,222hxxhxf

　11、 设()16, 1~−Nξ ⑴ 求 {} 5 . 1−>ξP，{} 15≤<−ξP，{} 1<ξP，{} 21 ≥+ξP；

　⑵ 求常数c ， 使 {}{ξ} cPcP≤=≥ξ。

　解：

　⑴ {}{η}(. 0)5498. 0125125. 0−415 . 1−415 . 1−=Φ=>=+>+=>ξξPPP

　 {}(5 . 0)()5328. 015 . 041115=−Φ−Φ=≤+<−=≤<−ξξPP

　 {}{}(5 . 0)( )01915. 05 . 0410111=Φ−Φ=<+<=<<−=<ξξξPPP

　 {}{}<+4<−−=<+−=≥+5 . 015 . 0121121ξξξPPP

　 (5 . 0)()[]617. 05 . 01=−Φ−Φ−=

　 ⑵ {}{ξ}{ξ} cPcPcP≤=<−=≥ξ1

　{}5 . 0=≤ cP ξ

　 5 . 04141=+≤+cPξ

　 5 . 041= +Φc

　 041=+c

　1−=c 12、 设测量误差ξ 的密度函数

　 ( )()3200202eπ2401−−=xxf，

　 +∞<<∞−x ⑴ 求测量误差的绝对值不超过 30 的概率；

　⑵ 如果接连测量 3 次， 每次测量相互独立， 求至少有一次误差的绝对值不超过 30 的概率。

　解：

　⑴ 40,20==σµ，

　{}{}−40<−40<−−=<<−=<203020402030303030ξξξPPP

　 (. 0)()(. 0)(. 0)4931. 0112525125. 025=−Φ+Φ=−Φ−Φ= ⑵ 设η 表示“测量误差的绝对值不超过 30”，(. 0 , 3)4931~ Bη

　 {}{η}{η}(. 0) ()8698. 04931. 0149311011113003=−−==−=<−=≥CPPPη 13、 一工厂 生 产 的 电 子管 寿命ξ 服从参数为 µ 和2σ的 正态分布，160=µ， 若要求{}80. 0200120≥≤≤ ξP， 问 σ 最大允许为多 少？

　解：{}−≤−σ≤−=≤≤σξσξ160200160160120200120PP

　 8 . 014024040≥−Φ=−Φ−Φ=σσσ

　 9 . 040≥Φσ， 从而28. 140≥σ，25.31≤σ， 即允许σ 最大为 31. 25。

　14、 某地会考中 学生成绩服从正态分布， 现知不及格人数占总数 15. 9%， 96 分以上占总数2. 3%， 问成绩在 60～ 84 之间的占总数多 少？

　解：{ξ}159. 060 =<P

　159. 06060=−Φ=−<−σµσµσµξP

　841. 060=−Φσµ

　160=−σµ

　 ①

　 {}{ξ}023. 096196=≤−=>ξPP

　977. 096=−Φσµ

　296=−σµ

　②

　 由①， ②得：12,72==σµ

　 {}( )1()6826. 0112728412721272608460=−Φ−Φ=−<−<−=<<ξξPP 15、 设某元件寿命ξ 是个随机变量， 其密度为

　( )>≤=1000,10001000, 02xxxxf

　 问 在 1500 小时内

　⑴ 三个元件中没一只 损坏的概率α ； ⑵ 三个元件全部损坏的概率 β 。

　这里假设三个元件是否损坏是相互独立的。

　解：{ξ}( )x321000dx1000d150015001500∫21500∫=−===>=+∞∞+∞+xxxfPp

　 ⑴ 27/83== pα

　 ⑵()27/ 113=−=pβ

　16、 设随机变量ξ 的密度函数为

　( )<<其它=, 010,2xxxf

　 用 η 表示对ξ 进行三次独立重复观察中事件{} 21≤ξ出现的次数

　 ⑴ 求η 的分布律；

　 ⑵ 求 {} 2=ηP。

　解：

　⑴ {}41d2212102210===≤∫xxxP ξ η () 3 , 2 , 1 , 0=i i P iiiC−334341

　 ⑵ {}64943412223===CP η 17、 设随机变量ξ 服从在[] 5 , 2上的均匀分布， 现在对ξ 进行 4 次观察， 试求至少有 2 次观察值大于 3 的概率。

　解：

　( )≤≤=其它, 052,31xxf

　{ξ}32d31353∫==>=xPp

　()()983132311111314431144004=−−=−−−−=CppCppCP

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